\section{Span-Wagners tilstandslikning}
\label{V:SWtilst}

Span-Wagners likning uttrykt ved redusert Helmholtz energi er gitt i likning (\ref{eq:tilsthelm}).

\begin{equation}\label{eq:tilsthelm}
\frac{a(T,\rho)}{RT}=\frac{a^\circ(T,\rho)+a^r(T,\rho)}{RT}=\alpha^\circ (\tau \delta)+\alpha^r (\tau \delta)
\end{equation}

Det første leddet ($\alpha^\circ$) beskriver oppførselen til en hypotetisk ideell gass  ved gitt temperatur og tetthet. $\alpha^\circ (\tau \delta)$ kan finnes ved å integrere varmekapasiteten til ideell gass, $c^\circ (T)$. Det andre ($\alpha^r$) er residualleddet, \dvs{} Helmholtz energi til det reelle fluidet. 



Ved bruk av Spans simultane optimeringsprosedyre blir uttrykket for $\alpha^r$ som vist i liking (\ref{eq:helmresid}).

{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}\label{eq:helmresid}
\frac{a^r(T,\rho)}{RT}&=&\alpha^r (\tau,\delta) 
=\sum_{i=1}^{I_{Pol}+I_{Exp}} A_i(\tau,\delta){}\nonumber\\
{}&=&\sum_{i=1}^{I_{Pol}} {n_i} \tau^{t_i} \delta^{d_i} +\sum_{i=I_{Pol}+1}^{I_{Pol}+I_{Exp}} {n_i} \tau^{t_i} \delta^{d_i}exp(-\delta^{p_i})
\end{eqnarray}}

Den endelige formen etter optimalisering av de funksjonelle formene $I_{Pol}$ og $I_{Exp}$ er som vist i (\ref{eq:residopt}). 

{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}\label{eq:residopt}
\alpha^r (\tau,\delta)&=&\sum_{i=1}^{8}\sum_{j=-8}^{12}n_{i,j}\delta^i\tau^{j/8} +\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=-8}^{24}n_{i,j}\delta^i\tau^{j/8} e^{-\delta}{}
 \nonumber\\  
&+&\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=16}^{56}n_{i,j}\delta^i\tau^{j/8} e^{-\delta^2} +\sum_{i=2}^{4}\sum_{j=24}^{38}n_{i,j}\delta^i\tau^{j/2} e^{-\delta^3}
\end{eqnarray}}

\newpage Resultatet for polare fluider er som følger:

{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}\label{eq:residpol}
\alpha(\tau,\delta)=\alpha^\circ (\tau,\delta)&+&\alpha^r (\tau,\delta) \nonumber\\
\qquad=\alpha^\circ (\tau,\delta)&+&n_1\delta^1\tau^{0.250} +n_2\delta^1\tau^{1.250}
+n_3\delta^1\tau^{1.500} \nonumber\\
&+&n_4\delta^3\tau^{0.250} +n_5\delta^7\tau^{0.875} +n_6\delta^1\tau^{2.375}e^{-\delta} \nonumber\\
&+&n_7\delta^2\tau^{2.000}e^{-\delta} + n_8\delta^5\tau^{2.125}e^{-\delta} +n_9\delta^1\tau^{3.500}e^{-\delta^2} \nonumber\\
&+&n_{10}\delta^1\tau^{6.50}e^{-\delta^2} + n_{11}\delta^4\tau^{4.75}e^{-\delta^2}\nonumber\\
&+&n_{12}\delta^2\tau^{12.5}e^{-\delta^3}\quad
\end{eqnarray}}
